轉呼啦圈的技巧 呼啦圈轉不起來老是掉

來源：劉延柱科學網博客，作者：劉延柱。

體育和娛樂活動里將細藤圈作為道具有著古老的歷史。投擲細藤圈以套中地面目標為樂的游戲在我國流傳已久，也曾是古希臘的運動項目。在現代體育的藝術體操中，大藤圈也是規定的道具之一。將大藤圈套在身上靠扭動腰肢旋轉的游戲最早出現在1957年的澳大利亞，一家Toltoy 玩具公司用竹制成這種細圈，后來改為塑料圈，一年內售出了40萬只。看到商機的兩個年輕美國玩具商將這個新奇玩意帶到美國，竟成為老少咸宜的娛樂活動席卷全國。由于扭動身體的舞姿很像夏威夷土著稱為Hula 的草裙舞，呼啦圈 (Hula hoop) 從而得名。全美呼啦圈競賽每年舉行，最長呼啦圈旋轉時間、最大最重的呼啦圈、一次轉動最多的呼啦圈、邊轉呼啦圈邊跑的最長距離等世界紀錄，不斷刷新。呼啦圈于80年代傳入我國，成為一種減肥瘦身的健身運動，也成為雜技舞臺上的新節目 (圖1)。2020年，一位90后女孩竟能一次轉動300個呼啦圈，創造了吉尼斯世界紀錄。

圖1 呼啦圈表演

呼啦圈的玩法并不復雜。將一個呼啦圈套在腰部用力一甩，讓它圍繞身體旋轉起來，然后不停地扭動腰肢，使呼啦圈持續地旋轉（圖2）。扭腰動作愈劇烈，呼啦圈轉動愈快，愈不容易往下掉。不過對于初學者，這種看似簡單的動作也必須多次練習才能掌握。

圖2 扭動腰肢轉動呼啦圈

從力學觀點分析，呼啦圈是圓環在非定常單面約束下的三維運動。為便于分析，將復雜的動力學問題分兩步進行。先不考慮圓環沿垂直方向的運動，僅討論在水平面內的平面運動。設O0 為此平面內的固定點，以O0 為原點建立慣性坐標系 (O0-xyz)，z軸為垂直軸，x、y軸在水平面內。設轉呼啦圈的人十分發福，用一個圓柱體近似地代表身體，以半徑為r圓心為O1 的圓C1 表示圓柱體的截面。C1 的中心 O1 圍繞固定點O0 作半徑為a的勻速圓周運動。站立在原地的人繞垂直軸不能轉動，只能隨同O1 點平動。將一個比圓柱體大的半徑為R的剛性圓環C套在圓柱體上，R>r。設圓柱體與圓環在接觸點P處無滑動，速度的大小和方向均保持一致。

設在t=0初始時刻，O1 點的初始位置為O10，與圓環和圓柱體接觸點P的初始位置P0 均在y軸上。圓弧C與C1 在P0 點處相切，圓環C 上與P0 重合的接觸點為Q0（圖3）。設在t時刻，圓柱體中心O1 沿半徑為a的圓軌跡C0 繞O0 轉過φ角從 O10 轉至新位置O1，∠O10O0O1=φ。圓柱體C1 隨O1 平動至新位置，與圓環的接觸點移至P點，圓環C上與P點重合的接觸點為Q點。接觸點的原位置P0 和Q0 亦隨同圓柱體和圓環的運動改變位置。平動剛體C1 在P點處的速度與O1 點相同，均為vP=a(dφ/dt)，設P點相對O1 點轉過的角度為∠P0O1P=ψ，C1 在P點處的速度應同時滿足vP=r(dψ/dt)，從而導出dψ/dt=(a/r)(dφ/dt)。以ψ=φ=0為初值，積分后得到ψ=aφ/r。圓環C上的接觸點Q相對圓環中心O轉過的角度為∠Q0OQ=θ，依據接觸點處無滑動的基本假設，P0P與Q0Q弧長相等，rψ=Rθ，得出θ=rψ/R。O1、O、P(Q) 三點共線。

圖3 受約束圓環在水平面內的運動

利用矢量式O0O=O0O1+O1O，導出圓環C的圓心O沿x、y軸的坐標：

設O1 繞O0 轉動的角速度為ω0=dφ/dt，圓環C在C1 上的滾動角速度為ω=dψ/dt，則ω=aω0/r。圓環C的轉動角速度Ω=dθ/dt不同于滾動角速度ω，二者之間有以下關系：

作為兩種極端情況，C1 縮成一點時r=0，Ω=0，圓環角速度為零。C1 與C的半徑相同時r=R，圓環角速度與滾動角速度相等，Ω=ω。將下式對t微分兩次

得到

設圓環的質量為m，圓環在接觸點P處受到圓柱體的法向約束力Fn和切向摩擦力F的作用。列寫圓環在 (x, y) 平面內的質心運動方程：

將

代入

且代入ω=aω0/r，解出

其中，γ=φ-ψ為O1O0 與O10 的夾角

下式中的摩擦力F滿足庫倫摩擦定理

以靜摩擦因數f為比例系數：

下式表明圓柱體對圓環的法向正壓力Fn和摩擦力F均來源于腰肢的扭動。

單面約束條件Fn>0在a=0時，即腰肢不扭動時也能滿足，但切向摩擦力消失。若初始時甩動圓環產生滾動角速度Ω，依靠慣性應也能繼續滾動，但不可能持久。因為缺少腰肢扭動提供的驅動力F，而柔軟的身體與圓環接觸點處存在因變形引起滾動力偶Mf。Mf與正壓力成正比，Mf=δFn，比例系數δ為滾阻系數，取決于圓環和身體接觸區的范圍。圓環在圓柱體扭動產生的摩擦力F 的推動下，角速度Ω 應滿足動量矩定理：

其中，J=mR2為圓環對中心軸的慣性矩。可據此做出判斷：

僅當FR≥δFn條件滿足時，呼啦圈的旋轉運動方可能持續進行。

分析了水平面內的運動以后，下一步分析呼啦圈在垂直平面 (x, z) 內的運動（圖4）。旋轉中的呼啦圈能否往下掉落，取決于圓環的重力mg 與P點處沿垂直方向的摩擦力Fz能否平衡。由于最大垂直靜摩擦力為fFn，沿z軸的平衡要求滿足

圖4 受約束圓環在垂直平面內的運動

圓環的滾動角速度愈大，正壓力和摩擦力愈大，圓環越不會掉落。將下式代入上式

導出

其中，ω0,cr為腰肢扭動的臨界角速度，只要扭動角速度ω0 超過此臨界值，呼啦圈就不會掉落。

從圖4看出，圓環的重力mg 與摩擦力Fz構成一對力偶mgR。因此，圓環平面必須偏離水平面一個微小角度ε，使圓環的離心慣性力Fc與法向約束力Fn 以Rε為力偶臂，構成方向相反的另一對力偶以保持平衡：

從中導出圓環的偏角ε：

圓環的轉動角速度Ω愈大，偏轉角ε 就愈小，圓環愈接近水平。更準確的分析還必須考慮圓環轉動的慣性效應，即由于圓環偏轉使角速度矢量Ω 偏離圓環主軸而引起的陀螺效應。

呼啦圈運動簡便易行，不須進健身房就能起健身作用而受到歡迎。不過呼啦圈是強度很大的運動，主要靠腰部用力。過度用力可能會引起腰肌和腰椎的勞損，反而得不償失。這倒是喜愛呼啦圈運動的朋友們要引起注意的。

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